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Relative Extremstelle einer Funktion

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Extremstellen, Nullstellen

Cyles aktiv_icon

21:28 Uhr, 06.01.2013

Hallo,
ich soll die relativen Extremstellen mit Hilfe eines geeigneten Kriteriums berechnen. Bei den Funktionen zuvor gab es keinerlei Probleme aber diese hier bereitet mir irgendwie Kopfzerbrechen.

F (x) = x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1

So nun habe ich natürlich die 1. Ableitung gebildet und die 2. dann auch direkt hinterher:

1. Ableitung:

4 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x + 1

2. Ableitung:

12 x^{2} + 18 x + 6

Mir ist bekannt, dass ich die 1. Ableitung

= 0

setzen muss. Aber irgendwie komme ich nicht weiter. Ich habe versucht

x

auszuklammern oder durch

x

zu dividieren. Vermutlich ist Substitution der richtige Weg aber wie mache ich das bei dieser Funktion?
Ich wäre für Ratschläge, Tipps und Anregungen sehr dankbar.

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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michael777 aktiv_icon

21:32 Uhr, 06.01.2013

x

ausklammern bringt nichts
es ist auch keine biquadratische Gleichung, Substitution bring also nichts

erste Lösung durch Probieren, dann Polynomdivision durch

x

minus Lösung

da hier 1 als Konstante vorkommt, muss man mit den Teilern von 1 (positiv und negativ) probieren, falls es eine ganzzahlige Lösung gibt
bei

... + 1

also mit

x = 1

oder

x = - 1

probieren, dass

x = 1

keine Lösung ist, sieht man sofort ohne zu rechnen, hier ist

x_{1} = - 1

die erste Lösung
Polynomdivision durch

(x + 1)

führt dann zu einer quadratischen Gleichung, deren Lösungen man dann wie üblich mit der pq-Formel berechnen kann

falls bisher keine Polynomdivision behandelt wurde (gehört in BW nicht mehr zum Unterrichtsstoff bis zum Abi), dann kann die Lösung nur mit dem GTR (grafisch oder mit dem Solver) ermittelt werden

Cyles aktiv_icon

21:35 Uhr, 06.01.2013

Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Also Polynomdivision hatte ich bereits nur ist mir immernoch schleierhaft wie man beispielsweise auf die

x + 1

kommt. In Büchern und Heften steht immer man muss es "ausprobieren". Was genau wird damit gemeint? man kann schließlich nicht alles mögliche probieren um irgendwann das richtige Ergebnis zu bekommen :-D)

michael777 aktiv_icon

21:38 Uhr, 06.01.2013

ganz rechts steht die Konstante 1 (also die Zahl ohne

x)

wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, dann muß die Lösung ein Teiler von dieser Konstante sein.
bei 1 kommt also nur 1 und

- 1

in Frage
bei 4 müsste man

\pm 1, \pm 2

oder

\pm 4

probieren
am besten immer mit 1 oder

- 1

anfangen, oft ist das schon eine Lösung

der Faktor, durch den man bei der Polynomdivision dividiert ist immer

x - x_{1}

hier also

x - (- 1) = x + 1

Cyles aktiv_icon

21:39 Uhr, 06.01.2013

Vielen Dank, ich werd die Aufgabe jetzt noch einmal versuchen und mein Ergebnis dann posten :-)

michael777 aktiv_icon

21:47 Uhr, 06.01.2013

(4 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x + 1) : (x + 1) = 4 x^{2} + 5 x + 1

weitere Lösungen:

x = - 1, x = - \frac{1}{4}

Cyles aktiv_icon

21:51 Uhr, 06.01.2013

Bei der Polynomdivision habe ich das gleiche Ergebnis heraus.
Nur anschließend muss ich doch dann

: 4

rechnen oder nicht?

dann hätte ich:

x^{2} + \frac{5}{4} x + \frac{1}{4}

nach dem Einsetzen in die pq Formel habe ich allerdings nachher

- \frac{10}{16} \pm

Wurzel

\frac{21}{16}

Wo dann natürlich eine ganz krumme Zahl herauskommt

michael777 aktiv_icon

21:54 Uhr, 06.01.2013

p = \frac{5}{4}

die Hälfte davon ist

\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{8}

- \frac{p}{2}

ist somit

- \frac{5}{8}

q = \frac{1}{4} = \frac{16}{64}

habe ich gleich auf den gemeinsamen Nenner erweitert

x = - \frac{5}{8} \pm \sqrt{\frac{25}{64} - \frac{16}{64}} = - \frac{5}{8} \pm \sqrt{\frac{9}{64}} = - \frac{5}{8} \pm \frac{3}{8}

Cyles aktiv_icon

22:00 Uhr, 06.01.2013

Danke jetzt hat es Klick gemacht, wird wohl Zeit fürs Bett :-D)

Schönen Abend noch :-)

Cyles aktiv_icon

22:40 Uhr, 06.01.2013

Eine Frage hätte ich aber noch :-)

Ich war gerade dabei alles sorgfältig aufzuschreiben. Als ich die beiden x-Werte 1 und

- \frac{1}{4}

in die 2. Ableitung eingesetzt habe fiel mir auf, dass in beiden Fällen ein Ergebnis

> 0

herauskommt. Aber es kann doch nicht 2 Tiefpunkte geben oder habe ich etwas falsch gemacht?

pleindespoir aktiv_icon

23:20 Uhr, 07.01.2013

Die Ableitung der Funktion hat ja wohl vermutlich 3 reelle Lössungen, oder?

also 3 Extrema

zwei Minima sind zu vermuten - allerdings sollte sich auch noch ein Maximum finden lassen.

---

Edit:

vielleicht gibts auch einen Sattelpunkt ?

anonymous

23:24 Uhr, 07.01.2013

Ein Tiefpunkt, ein Sattelpunkt, ein Wendepunkt, kein Hochpunkt.

Cyles aktiv_icon

23:38 Uhr, 07.01.2013

Ok danke, dann werd ich mich noch einmal daran setzen

anonymous

23:40 Uhr, 07.01.2013

Graph

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