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Ableitung einer Funktion mit Sinus und Logarithmus

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differential, Logarithmus, Sinus

bernie70 aktiv_icon

12:26 Uhr, 17.05.2009

Hallo,

ich habe folgende Funktion gegeben:

$f (x) = \sin (3 x) \cdot {\ln (x)}^{2}$

Ich habe versucht, die 1. Ableitung vom Logarithmusteil zu bilden:

${[{\ln (x)}^{2}]}^{'} = 2 \cdot \ln (x) \cdot (\frac{1}{x} \cdot x) \cdot 1 = 2 \cdot \ln (x)$

Diesen Wert habe ich dann bei der Gesamtableitung eingesetzt:

$f^{'} (x) = \cos (3 x) \cdot {\ln (x)}^{2} + \sin (3 x) \cdot [2 \cdot \ln (x)]$

Ich glaube, dass ich beim Ableiten des Logarithmusteiles einen Fehler gemacht habe - kann mir das jemand bestätigen?

Danke!

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Akonia

12:41 Uhr, 17.05.2009

ja deine ableitung des ln-teils passt nicht.

kettenregel: äußere funktion ableiten "mal" innere funktion ableiten (nachdifferenzieren)
die äußere funkton ist

t^{2},

ergibt abgeleitet

2 \cdot t;

die innere funktion ist

ln (u),

ergibt abgeleitet

\frac{1}{u}

\to

[{ln (x)}^{2}]' = 2 \cdot ln (x) \cdot \frac{1}{x}

auch die ableitung des sin-teils passt nicht ganz, nachdifferenzieren nicht vergessen.

[sin (3 x)]' = cos (3 x) \cdot 3

bernie70 aktiv_icon

12:42 Uhr, 17.05.2009

Hallo Akonia,

vielen Dank für die rasche Antwort.

Ich hab' jetzt das Ganze auf ein anderes Beispiel angewendet und dabei kommt bei mir folgendes raus:

$f (t) = \sin (3 t) \cdot \ln {(5 t^{2} - 2 t + 3)}^{5}$

${f (t)}^{'} = \cos (3 t) \cdot 3 \cdot \ln {(5 t^{2} - 2 t + 3)}^{5} + \sin (3 t) \cdot 5 \ln {(5 t^{2} - 2 t + 3)}^{4} \cdot \frac{1}{5 t^{2} - 2 t + 3} \cdot (10 t - 2) =$
${f (t)}^{'} = \cos (3 t) \cdot 3 \cdot \ln {(5 t^{2} - 2 t + 3)}^{5} + \frac{\sin (3 t) \cdot 5 \ln {(5 t^{2} - 2 t + 3)}^{4} \cdot (10 t - 2)}{5 t^{2} - 2 t + 3}$

Habe ich das damit richtig verstanden oder wieder einen Fehler drinnen?

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