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Alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung für f(x,y)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Ableitung, Cosinus, Funktion, Partielle Ableitung, Polarkoordinaten, Sinus, Zylinderkoordinaten

anonymous

19:22 Uhr, 06.06.2016

Guten Tag!

Folgende Funktion ist gegeben:

f : ℝ^{2} \to ℝ

mit

f (x, y) = \frac{x \cdot y \cdot (x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0,0)

und

f (x, y) = 0

für

(x, y) = (0,0)

.
Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von

f

für

{(x, y)}^{T} \neq {(0,0)}^{T}

.

Meine erste "Idee" war, einfach ganz normal zweimal nach

x

bzw.

y

abzuleiten, allerdings würden dabei ellenlange Terme herauskommen.

Meine zweite Idee:

f (r \cdot cos (φ), r \cdot sin (φ))

berechnen und mir dadurch viel Rechenarbeit ersparen.
Ich bin soweit gekommen, dass dort steht

r^{2} \cdot cos (φ) \cdot sin (φ) \cdot ({cos}^{2} (φ) - {sin}^{2} (φ))

Wolfram gibt mir als Endergebnis

(\frac{1}{4}) \cdot sin (4 \cdot φ) \cdot r^{2}

an, aber wie komme ich darauf bzw. muss ich danach dann wieder zurückrechnen auf kartesische Koordinaten, um weiterzumachen oder was würdet ihr machen? Danke!

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Roman-22

19:44 Uhr, 06.06.2016

>

aber wie komme ich darauf
Durch mehrmalige Anwendung der speziellen Summesätze

sin (2 x) = ...

. und

cos (2 x) = ...

>

muss ich danach dann wieder zurückrechnen auf kartesische Koordinaten, um weiterzumachen
weitermachen? Gesucht sind doch nur die zweiten partiellen Ableitungen, oder?. Allerdings wirst du diese wohl doch in kartesischen Koordinaten angeben müssen und es ist schon ein wenig abenteuerlich, dass du offenbar nach

r

und

φ

ableitest, obwol die Ableitungen nach

x

und

y

gefragt sind. Oder hast den Zusammenhang zwischen den Differentialen berücksichtigt.
Ich glaube nicht, dass du dir da viel ersparen wirst.

>

der was würdet ihr machen?
Eher die "ellenlangen" Ausdrücke in Kauf nehmen und gleich nach Auftreten dieselben bestmöglich vereinfachen.

Du hast das doch sicher schon mit einem Programm oder von Onkel Wolfram ausrechnen lassen und hast gesehen, dass sich die ellenlangen Ausdrücke am Ende doch eher in Wohlgefallen auflösen,
Falls nicht, hier die Ergebnisse, auf die du kommen solltest
partder3

Gutes Gelingen!

R

anonymous

19:52 Uhr, 06.06.2016

Hallo Roman,
danke für deine ausführliche Antwort.
Die Sinus- und Cosinussätze hatten wir noch nicht, aber die sind wohl eher nicht von Belangen für diese Aufgabe, da meine zweite Idee dann wohl doch eher eine Schnapsidee war. :-D) Ich dachte, dass es irgendeinen Trick gibt, mit dem das Ganze kürzer funktioniert, aber dann hätte unser Tutor bestimmt auch etwas dazu gesagt.

Dann werde ich es nochmal normal versuchen und mit Onkel Wolfram die Lösung abgleichen oder mich bei Problemen hier melden, danke!

Gruß
Daniel

Roman-22

21:27 Uhr, 06.06.2016

Nicht Sinus- oder Kosinussatz. Es ging um die Summensätze, auch Additionstheoreme genannt. Speziell

sin (2 x) = 2 \cdot sin x \cdot cos x

und

cos (2 x) = {cos}^{2} x - {sin}^{2} x

R

anonymous

23:12 Uhr, 06.06.2016

Oh, ja, das habe ich falsch aufgeschrieben, tut mir leid.

Jetzt erkenne ich die Additionstheoreme wieder, ich hatte das nur noch mit

cos (x + y) = . .

. in Erinnerung, obwohl natürlich

cos (x + x) = cos (2 x)

(so auch beim

sin),

aber dann habe ich das auch wieder in Erinnerung, danke!

Ich habe gerade die Sachen gerechnet, war zwar etwas zeitaufwendig, aber es ging alles auf, viele Sachen haben sich auch weggekürzt oder -subtrahiert, daher kommen dann doch ganz erträgliche Funktionen am Ende heraus, hattest du reht ;-)

Eine Frage noch:
Mit welchem Programm hast du die Ableitungen entweder nach

x, y,

zweimal

x,

zweimal

y

oder nach

x

und dann nach

y

so schnell aufgestellt? Oder ist das mit der Pro-Version von Wolfram möglich?

Gruß und danke nochmal
Daniel

Roman-22

23:32 Uhr, 06.06.2016

>

Mit welchem Programm hast du die Ableitungen entweder nach

x, y,

zweimal

x,

zweimal

y

oder nach

x

und dann nach

y

so schnell aufgestellt? Oder ist das mit der Pro-Version von Wolfram möglich?
Nein, ich verwende gern das Programm Mathcad

15

. Mathematica und Maple sind zwar bei symbolischen Berechnungen mit deutlichem Abstand besser, aber ich schätze das Programm als guten Allrounder, der auch mit Einheiten gut umgehen kann und mit dem ich wie auf einem Notizblock in üblicher Notation "herumkritzeln" kann. Außerdem verwendet man natürlich gern das, das man kennt und einigermaßen gut und schnell bedienen kann. Schade, dass die aktuelle Neuentwicklung Mathcad Prime so ein schwacher Mist ist

: - (

.

Habs hier nicht installiert, aber du kannst ja auch dein Glück mit dem kostenlosen Maxima versuchen.

R

anonymous

23:10 Uhr, 07.06.2016

Ok, danke soweit!
Ich habe mir mal gerade die Testversion von Mathcad heruntergeladen, aber das ist dann eher ein klassischer Fall von "haben", aber nicht bedienen können. :-D)

Oder kannst du mir vielleicht in

2 - 3

kurzen Schritten sagen, wie ich eine (und auch die

2 .)

partielle Ableitung einer Funktion bilden kann?

Das ganze Handbuch will ich dafür dann nicht unbedingt durchblättern.
Wenn es zu lange dauert, ist es egal, dann versuche ich es nochmal mit dem kostenlosen Programm morgen . ;-)

Roman-22

19:02 Uhr, 08.06.2016

>

aber das ist dann eher ein klassischer Fall von "haben", aber nicht bedienen können. :-D))
Naja, ganz intuitiv bedienbar ist wahrscheinlich keines dieser Programme.
Was hast du dir denn runtergeladen? Mathcad Prime

3.1

oder Mathcad

15

.
Die ältere (aber deutlich bessere) Mathcad

15

verstecken sie gerne auf der HP. Du bekommst sie zB unter
http//www.ptc.com/engineering-math-software/mathcad/free-trial/thank-you

Die Trial von Mathcad

15

ist nach

30

Tagen tot, während die von Prime in einen kastrierten "Express" Modus degeneriert, in dem dann vieles gesperrt ist,

u . a

. auch die symbolischen Berechnungen, wegen derer du das ganze runter geladen hast.

Du definierst eine Funktion, indem du irgendwo den Cursor hinstellst und zB

f (x, y) :

eingibst (das = kommt dann automatisch) und dann deinen Funktionsterm eingibst. Dann Enter drücken oder einfach mit der Maus aus dem Bereich rausklicken.

Ich hab die Ableitungen jeweils einer neuen Funktionsvariablen zugewiesen, da Mathcad im Grunde nur "normales" Differenzieren beherrscht und ich zwar direkt eine zweite oder dritte Ableitung nach ein und derselben Variablen bilden kann, nicht aber direkt eine gemischte zweite Ableitung.

Daher

f . x (x, y) :

Der Punkt erzeugt in MC15 eine Tiefstellung, in Prime erreicht man das durch Strg und -

Jetzt den Differenzieroperator aus der Palette für symbolische Berechnungen oder in Prime im ersten Ribbon aus dem Menü (hat die Form

f')

wählen. Natürlich gibts auch shortcuts, in MC15 ist es das ? für die erste Ableitung, in Prime Strg-D. Jetzt noch ausfüllen, dass du

f (x, y)

ableiten möchtest und angeben, nach welcher Variablen, zB

x

. Wenn die erste Ableitung sein soll, dann kann das entsprechende Feld in Prime einfach frei bleiben.

Jetzt noch symbolische Auswertung wählen, entweder aus der entsprechenden Palette/dem Menü oder mit dem shortcut Strg und . (Punkt).
Schon solltest du die Ableitung sehen. Diese Auswertung kann man noch mit modifiern versehen, zB "simplify" oder "factor" usw.

In MC

15

kann man den Differenzieropertor aussehen lassen, wie den Operator für partielle Differentiation (Rechtsklick), in Prime musst du dich mit

\frac{d}{d x}

zufrieden geben.
In MC15 kannst du das ":=" und auch den Pfeil der symbolischen Auswertung als "=" anzeigen lassen und auch die Schlüsselwörter wie "simplify" ausblenden. In Prime ist das alles nicht möglich.

Was du noch wissen solltest ist, das das Programm deine Bereiche von oben nach unten und von links nach rechts liest - nicht unüblich in unseren Breiten.

Eine Definition eine Funktion oder einer Variablen ist also erst weiter rechts und weiter unten bekannt. Du kannst also nicht eine Funktion irgendwo definieren und weiter oben schon die Ableitung davon berechnen.

>

Das ganze Handbuch will ich dafür dann nicht unbedingt durchblättern.
Wenns nur doch wenigstens eines geben würde!
Aber immerhin gibts eine recht umfangreiche Hilfe, in MC15 zusätzliche auch noch gute und informative sog. Quicksheets.
Außerdem gibts ein sehr hilfreiches und kompetentes User-Forum www.ptcusercommunity.com/community/mathcad

Viel Erfolg!

anonymous

18:40 Uhr, 09.06.2016

Wow, danke für die umfangreiche Hilfe!
Ja, ich habe die Mathcad

15

Testversion heruntergeladen und mit deiner Anleitung werde ich es dann auf jeden Fall hinbekommen, mehrere partielle Ableitungen zu berechnen, was dann schonmal viel wert ist, vielen Dank!
Auch gut zu wissen ist, wie man ungefähr mit dem Programm umgehen muss, beim ersten Mal benutzen bin ich nämlich schon nach ein paar Minuten leicht verzweifelt. :-D)
Guter Tipp auch mit dem Forum, werde ich mir bei Bedarf auf jeden Fall anschauen.

Gruß
Daniel

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