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Wie kürzen für Ableitung einer Gebrochen-rationale

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Ableitung, Funktion, Gebrochen-rationale Funktionen, Kurvendiskussion, kürzen

skillstarjr aktiv_icon

16:23 Uhr, 28.01.2019

Hallo!
ich sitze nun sehr lange an einer Aufgabe und komme nicht weiter. Ich habe die Ableitung aus

\frac{4 x}{1 + x}

gebildet und diese lautet folgt (Gebrochenrstionalefunktion):

((- 8 x) {(1 + x^{2})}^{2})) -

(2(1+x^2)×2x(4-4x^2))

/ {(1 + x^{2})}^{4}

Egal wie ich es drehe und Kürze ich komme nicht auf das Ergebnis wie in den Lösungen:

((1 + x^{2}) (- 8 x) -

(2×2x*(4-4x^2))

/ {(1 + x^{2})}^{3}

der richtige Ansatz würde mich schon reichen. Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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skillstarjr aktiv_icon

16:30 Uhr, 28.01.2019

Als Foto

supporter aktiv_icon

16:36 Uhr, 28.01.2019

www.ableitungsrechner.net

DerDepp aktiv_icon

16:50 Uhr, 28.01.2019

Hossa :-)

Ich komme auch nicht auf das Ergebnis aus den Lösungen, weil es falsch ist. Richtig ist:

f (x) = \frac{4 x}{1 + x} = \frac{4 x + 4 - 4}{1 + x} = \frac{4 x + 4}{1 + x} - \frac{4}{1 + x} = \frac{4 (x + 1)}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} = 4 - \frac{4}{x + 1}

f^{'} (x) = \frac{4}{(x + 1)^{2}}

f^{''} (x) = - \frac{8}{(x + 1)^{3}}

rundblick aktiv_icon

16:56 Uhr, 28.01.2019

.
die Ableitungen von

y = \frac{4 x}{1 + x} \to

?? - Mann , das machst du einfacher so :
es ist

\to y = 4 - \frac{4}{x + 1} = 4 - 4 \cdot {(x + 1)}^{- 1}

\Rightarrow y

= + 4 \cdot {(x + 1)}^{- 2} = \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}

\Rightarrow y

´´

= - 4 \cdot 2 \cdot {(x + 1)}^{- 3} = - \frac{8}{{(x + 1)}^{3}}

usw..
usw..

oh - sorry - sehe gerade dass der Depp das auch schon so geschrieben hat..

aber:

jetzt kannst du sicher problemlos sogar die n-te Ableitung notieren

\to

mach mal :

y^{(n)} = ... . .

. ?

und oh Schreck

\to

gleich kommt auch noch ein unmüder Prediger,
der ist ABSOLUT TÖDLICH .
Ihr müsst ihn MEIDEN WIE DIE PEST ..
der verkauft euch sonst eine Polstelle der Ordnung

4711 (-

dufte

!)

\to \to

godzilla12 aktiv_icon

17:15 Uhr, 28.01.2019

Genau. Ich werde ja nicht müde zu predigen:

Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖDLICH .
Ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST .
Aktion Bremer Stadtmusikanten

" Etwas Besseres als die QR werden wir Überall finden. "

Diejenigen von euch, die schon " aufleiten " können

\to

Stammfunktion

\to

Integral, werden wissen, dass man eine gebrochen rationale Funktion ( GRF ) aufleitet mittels

\to

Polynomdivision

+ \to

Teilbruchzerlegung ( PDTZ )
Es spricht überhaupt nichts dagegen, sie auch genau so abzuleiten.
In vielen fällen zeitigt auch die Technik des

\to

logaritmischen Differenzierens brauchbare Ergebnisse.
Gegen die QR spricht allein schon der unverhältnismäßige Arbeitsaufwand.
Sie trägt aber auch nichts bei zur Erhellung der Lage; so erkennst du in deinem Fall durch PD , dass es sich bei deiner funktion um eine Hyperbel handelt.
Die QR vermittelt dir hingegen nie irgendwelche Einsichten.
Ihr größter Fehler ist übrigens die falsche Asymptotik.
So lässt sich über TZ unmittelbar einsehen, dass die Ableitung einer Polstelle der Ordnung

4711

immer einen Pol

4712

. Ordnung ergibt .
Dagegen der Nenner

v

² der QR gaukelt dir ganz fatal eine Asymptotik der Ordnung

2 \cdot 4711 = 9422

vor

Atlantik aktiv_icon

17:43 Uhr, 28.01.2019

Ich liebe diese

Q R

genau so wie die

q . E

schon seit

50

Jahren:

[\frac{4 x}{1 + x}]

= \frac{4 \cdot (1 + x) - 4 x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{4}{{(x + 1)}^{2}}

[\frac{4}{{(x + 1)}^{2}}]

= \frac{0 \cdot {(x + 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}} = - \frac{8}{{(x + 1)}^{3}}

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

18:04 Uhr, 28.01.2019

.

und jetzt auch noch frisch vom Atlantik als erlebte

q^{2}

Ergänzung

\to

"Ich lebe diese QR genau so wie die

q . E

schon seit

50

Jahren"

und wie lange dauert die Rechnung mit deiner QR dann,
bis du wieder auftauchst mit der 4711.-ten Ableitung von

y = \frac{4 x}{1 + x}

um damit dem erwähnten Pol des godzilla12 seinen duftenden Schrecken zu nehmen ?

.

HAL9000

20:21 Uhr, 29.01.2019

Wenn ich mal was einwerfen darf:

Es ist die ganze Zeit von den Ableitungen von

x \mapsto \frac{4 x}{1 + x}

die Rede, während im Scan sowie einigen Lösungsansätzen im Eröffnungsposting wohl eher die Funktion

x \mapsto \frac{4 x}{1 + x^{2}}

gemeint ist - was liegt denn nun wirklich an?

rundblick aktiv_icon

17:35 Uhr, 30.01.2019

.
@HAL9000 :

wenn wir das Foto

\to 16 : 30

Uhr,

28.01.2019

anschauen, dann ist klar,
dass du ziemlich sicher Recht hast mit deiner Vermutung :

\to y = \frac{4 x}{1 + x^{2}}

ist die abzuleitende Funktion.

Schon ärgerlich, dass ein Student nicht in der Lage ist, eine einfache Aufgabe
zu Beginn richtig aufzuschreiben- oder zumindest seine Texte selbst zu überprüfen.
Es ist also schon soweit, dass wir sicherheitshalber erst mal nachforschen müssten,
um was es eigentlich wirklich geht ..
Stattdessen verkünsteln wir uns dann voller Freude mit gar nicht Gefragtem
und der Typ reklamiert nichtmal.

Atlantik wird sich freuen, dass diese Aufgabe jetzt wirklich mit seiner

50

Jahre bewährten QR mit Vorteil in Angriff genommen werden sollte.

Und so ganz nebenbei: warum wird bei solchen Aufgaben ein konstanter Faktor
überall mitgeschleppt und nicht einfach vorgezogen ?

\to

y = 4 \cdot [\frac{x}{1 + x^{2}}]

y

= 4 \cdot [\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}]

y

´ ´

= 8 \cdot [\frac{x^{3} - 3 x}{{(1 + x^{2})}^{3}}]

uaw..
.

godzilla12 aktiv_icon

14:23 Uhr, 31.01.2019

Ich mach grad mal die Kurvendiskussion. Der Graf ist ungerade

\to

Wir erwarten einen Wendepunkt bei

x = 0

. Wir beschränken uns auf die rechte halbe Bene. Da Zählergrad

<

Nennergrad, verebbt die Kurve für

x \to \infty

bei

(+ 0)

Damit ergibt sich der Slalom

0 < x_{max} < x_{w} (1)

Hier kennste den?

" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

Natürlich bilde ich die ganzen Ableitungen per Teilbruchzerlegung ( TZ )
Da wäre das sog. " Abdecker_oder Zuhälterverfahren " völlig ausreichend; doch warum soll ich mir Arbeit machen? Da die TZ eh eindeutig ist, ist jeder Schmuddeltrick zulässig, sie zu ermitteln.
Wir beobachten, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht und gehen über die Aufleitung:

F (x) := \int f (x) d x = 2 ln (x

+ 1) = (2 a)

= 2 [ln (x + i) + ln (x - i)] (2 b)

f (x) = 2 [\frac{1}{x + i} + \frac{1}{x - i}] (3)

Die Ableitung von

(3)

ist trivial:

-

f' (x) = - 2 [\frac{1}{{(x + i)}^{2}} + \frac{1}{{(x - i)}^{2}}] = 0 (4 a)

(x + i)

+ (x - i)

= 0 (4 b)

2 (x

- 1) = 0 \to x_{max} = 1 (4 c)

f

(x) = 4 [\frac{1}{{(x + i)}^{3}} + \frac{1}{{(x - i)}^{3}}] = 0 (5 a)

(x + i)

+ (x - i)

= 0 (5 b)

2 (x

- 3 x) = 0 (5 c)

x_{1 w} = 0; x_{2 w} = \sqrt{3} (5 d)

HAL9000

11:57 Uhr, 01.02.2019

Ja, auf diese Weise ist auch die allgemeine Darstellung der

n

-ten Ableitung kein großes Problem. Deren komplexe Darstellung

f^{(n)} (x) = 2 (- 1)^{n} n! (\frac{1}{(x + i)^{n + 1}} + \frac{1}{(x - i)^{n + 1}})

ist natürlich auch über den Binomischen Satz in eine reelle Darstellung überführbar:

f^{(n)} (x) = \frac{2 (- 1)^{n} n!}{(1 + x^{2})^{n + 1}} ((x - i)^{n + 1} + (x + i)^{n + 1}) = \frac{2 (- 1)^{n} n!}{(1 + x^{2})^{n + 1}} \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) ((- 1)^{k} + 1) i^{k} x^{n + 1 - k}

f^{(n)} (x) = \frac{4 n!}{(1 + x^{2})^{n + 1}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n + 1}{2} ⌋} (- 1)^{n - k} (\binom{n + 1}{2 k}) x^{n + 1 - 2 k}

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