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Durchhang und Länge einer cosh funktion

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Ableitung, Grenzwert, Integral

ChrisMaschbau aktiv_icon

21:04 Uhr, 22.01.2014

Hallo,

Undzwar habe ich ein kleines Problem:

Gesucht ist der Durchhang (somit TP) und die Länge (somit das Bogenmaß)!

Die Länge konnte ich mittels Taschenrechnet berechnen (47,6269) jedoch leider nicht mittels Integrationstabellen und co.

Bei dem Tiefpunkt wird die Funktion $f (x) = 5 * \cosh (x / 5)$ 
Abgeleitet und erbiebt $f (x) = \sinh (x / 5)$

Diese Nullgesetzt und nach x Auflösen doch wie? Ich hatte zunächst folgenden Ansatz: Da der sinh(x) auch (e^(x) - e^(-x))/2 ist, wollte ich den so auflösen umgestellt und mit 2 Multipliziert kommt folgendes raus: 0 = ln(z) - ln(-z) mit z=(x/5) Doch nun weiß ich nicht weiter? Oder bin ich ganz auf dem falschen Weg? Währe super wenn ihr mir bei beiden Helfen könntet!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ChrisMaschbau aktiv_icon

21:05 Uhr, 22.01.2014

Und warum schreibt das programm da Programmcodes so rein?? Währe super wenn ich das verhindern könnte!!??

beste Grüße

OmegaPirat

23:19 Uhr, 22.01.2014

Weshalb dort Tags reingeschrieben werden, weiß ich nicht. In welchem Modus hast du denn geschrieben? Es sieht jedenfalls nach html-Tags aus, die nicht übersetzt wurden, aber jetzt zur eigentlichen Aufgabe.

Du hast falsch umgeformt

Der Ausgangspunkt ist

\frac{e^{z} - e^{- z}}{2} = 0

\Rightarrow

e^{z} - e^{- z} = 0

Bevor du logarithmierst, muss die gleichung in die form

e^{f (z)} = K

gebracht werden, wobei

K

irgendein z-unabhängiger ausdruck und

f (z)

eine z-abhängige Funktion ist
Dies gelingt dir, indem du die Gleichung mit

e^{z}

multiplizierst.

\Rightarrow e^{2 z} - 1 = 0

bzw

e^{2 z} = 1

jetzt logarithmieren

\Rightarrow

2 z = 0

Der Rest sollte offensichtlich sein.
Davon abgesehen, sieht man auf einem Blick wo in diesem einfachen Fall das Minimum liegt. Ganz ohne Rechnung.

ChrisMaschbau aktiv_icon

23:25 Uhr, 22.01.2014

Hey super danke! Darauf währe ich so nicht gekommen aber ist total einleuchtend!! ;)

Nur noch die sache mit der Integration?!

OmegaPirat

23:31 Uhr, 22.01.2014

Zur Berechnung der Bogenlänge

l

einer Funktion

f (x)

im Intervall

[a, b],

verwendet man diese Formel

l = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d f}{d x})}^{2}} d x

Dort muss du dann natürlich deine Funktion einsetzen. Versuchs mal.

ChrisMaschbau aktiv_icon

23:38 Uhr, 22.01.2014

Die Bogenlänge habe ich wie vorher geschrieben schon ermittelt (Im Intervall von 2 bis 10)

Doch dies wird nichts ausreichend sein in der Klausur ohne eine eigenständige Integration!

Im Papula Intergrations Tafelwerk finde ich zwar sinh(x) funktionen und wie man diese integriert, jedoch keine unter der wurzel! Auch sonst hatte ich kein Ansatz wie ich diese Integrieren könnte! Ebenso das problem beim umstellen der sinh(x) durch (e^(x) - e^(-x)) / 2

ChrisMaschbau aktiv_icon

23:43 Uhr, 22.01.2014

Meine NICHT vollständige und vielleicht vollkommen falsche Integration sieht wie folgt aus:

(1+sinh²(x/5))^0,5 hierbei habe ich nur die wurzel umgeschrieben

darauf hin folgt

(2/3)*(1+sinh²(x/5))^(3/2) .... (Hier fehlt mir die weiterführende Integration?!

anonymous

23:50 Uhr, 22.01.2014

Da hast du richtig vermutet. Das geht so nicht. Wenn du schließlich umgekehrt

\frac{2}{3} \cdot {(1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{5}))}^{\frac{3}{2}}

wieder ableiten würdest, müsstest du nach der Kettenregel nachdifferenzieren.

Im Grunde ist das Integral recht einfach zu lösen, wenn man weiß, dass für alle

x \in ℝ

gilt:

1 + {sinh}^{2} (x) = {cosh}^{2} (x)

Also musst du dann eigentlich nur noch

cosh (\frac{x}{5})

integrieren.

ChrisMaschbau aktiv_icon

00:00 Uhr, 23.01.2014

Ach klasse, wenn man das mal gewusst hätte ;)

Ich werde es morgen früh gleich mal rechnen!! DANKE!!

Nur noch eine frage! Wie verhält sich die wurzel darauf hin??

Den dann müsste es ja eigentlich heißen. daraus das intergral steht wiederrum nicht im Papula! :(

Oder vergess ich das jetzt etwas?

$\sqrt{\cosh ² (x)}$

OmegaPirat

03:10 Uhr, 23.01.2014

Wurzel ziehen und Quadrieren heben sich auf.
Naja nicht ganz. Genauer sieht es so aus.
Für alle

x \in ℝ

gilt

f (x) = \sqrt{x^{2}} = | x |

Die Betragsstriche kannst du in deinem Fall weglassen, da der

cosh

eh nie negativ wird.
Die Betragsstriche rühren daher, dass das Wurzel ziehen normalerweise nicht eindeutig ist und man sich darauf geeinigt hat bei Funktionen immer den positiven Wert zu nehmen.

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