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Kurvenschar mit e-Funktion

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Kurvendiskussion, Ortskurve, Parameter

Santoryu aktiv_icon

13:34 Uhr, 24.02.2013

Hallo liebe Mathematik-Freunde :-)

ich hab da noch einige Probleme, was die Kurvenscharen einer e-Funktion betrifft.
Nehmen wir mal als Beispiel die Funktion ft(x)=

e^{x} \cdot (e^{x} - t),

wobei

x

ein Element der Reelen Zahlen

R

sein soll.
Wie ermittle ich hier jetzt genau die Nullstellen und Extrema dieser Funktion? Das Problem ist immer noch der Parameter

t

obwohl ich mich damit schon öfters beschäftigt habe, blicke ich da immer noch nicht ganz durch.
Habe da noch einige weitere Fragen, allerdings will ich erstmal dieses Problem lösen.
Hoffe mir kann da mal jemand helfen :-)

MfG

Kevin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel

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Eva88 aktiv_icon

13:38 Uhr, 24.02.2013

Nullstellen

e^{x} (e^{x} - t) = 0

e^{x} = t

e^{x} = e^{ln (t)}

x = ln (t)

Für Extremwerte erstmal die erste Ableitung mit Produktregel bilden.

Santoryu aktiv_icon

14:01 Uhr, 24.02.2013

Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Aber wie bist du von der ersten auf die zweite Zeile genau gekommen?

Die Ableitung hab ich folgendermaßen berechnet:

ft(x)=

e^{x} \cdot (e^{x} - t)

f' t (x) = e^{x} \cdot (e^{x} - t) + e^{x} \cdot e^{x}

Die Produktregel hab ich glaube ich richtig angewendet. Aber das mein Problem hierbei ist wieder der Parameter

t

. Ich habe ihn wegfallen lassen da es ja eine Zahl ist.
Fällt der jetzt eigentlich beim Ableiten weg oder nicht?
Denn wenn der nicht wegfallen würde, dann sieht die Ableitung so aus:

f' t (x) = e^{x} \cdot (e^{x} - t) + e^{x} \cdot (e^{x} - t)

Eva88 aktiv_icon

14:08 Uhr, 24.02.2013

t

fällt weg, musst du wie eine Konstante behandeln.

f' (x) = e^{x} (e^{x} - t) + e^{x} \cdot e^{x}

= e^{x} (e^{x} - t + e^{x})

= e^{x} (2 e^{x} - t)

2 e^{x} - t = 0

e^{x} = 0,5 t

x = ln (0,5 t)

Santoryu aktiv_icon

14:39 Uhr, 24.02.2013

Wie du das mit den Nullstellen und Extrema gemacht hast, habe ich jetzt verstanden.

Das ist ja jetzt ein Extrema abhängig von

t

. Gibt es jetzt eine Möglichkeit zu begründen, ob es sich um ein Minima oder Maxima handelt, ohne die 2.Ableitung zu benutzen?

Eva88 aktiv_icon

16:34 Uhr, 24.02.2013

Vorzeichenwechsel Kriterium.

Santoryu aktiv_icon

17:44 Uhr, 24.02.2013

Gut das klärt einiges auf. Macht mir auch keine Probleme.

Aber jetzt kommt wieder was mit Parametern...

Für jedes

t > 0

ist ein Punkt Pt

(\frac{ln t}{2} | - \frac{t^{2}}{4})

gegeben. Der zeigt jetzt an, dass das

ln

t

gehört aber auf dem arbeitsblatt steht das

ln

vor dem Bruch. Macht das was aus?

Ich würde jetzt mal gerne wissen, auf welcher Kurve diese Punkte Pt liegen. Also die Bestimmung der Ortskurve. Als Kontrollergebnis ist

y = - e^{2} x

gegeben. Das

2 x

ist eigentlich der Exponent aber ich weiss nicht wieso der das

x

wieder nach unten schreibt

\frac{:}{}

MfG

Kevin

Santoryu aktiv_icon

18:49 Uhr, 24.02.2013

Kann mir da noch jemand helfen?

Santoryu aktiv_icon

21:23 Uhr, 24.02.2013

Keiner ne Ahnung? Brauche das bis morgen

: (

funke_61 aktiv_icon

09:17 Uhr, 26.02.2013

so:
Punkt

P_{t} (ln (\frac{t}{2}) | - \frac{t^{2}}{4})

?

Damit ist die Ortskurve als Funktion des Parameters

t

gegeben, also

x (t) = ln (\frac{t}{2})

und

y (t) = - \frac{t^{2}}{4}

Gesucht ist die Ortskurve

y (x)

. Dazu den Parameter

t

eliminieren, zB so:

x = ln (\frac{t}{2})

e-Funktion auf beiden Gleichungsseiten anwenden:

e^{x} = \frac{t}{2}

Die rechte Seite hat schon Ähnlichkeit mit

y (t)

deshalb jetzt quadrieren:

e^{2 x} = \frac{t^{2}}{4}

und mit

(- 1)

multiplizieren:

- e^{2 x} = - \frac{t^{2}}{4}

Vergleich mit der Angabe ergibt:

y (x) = - e^{2 x}

Alternative: "ganz konventionell" eine Gleichung nach

t

auflösen, dann diesen Term in die zweite Gleichung einsetzen:

x = ln (\frac{t}{2})

e^{x} = \frac{t}{2}

t = 2 e^{x}

einsetzen in

y = - \frac{t^{2}}{4} = - \frac{{(2 e^{x})}^{2}}{4} = - \frac{4 e^{2 x}}{4} = - e^{2 x}

;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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