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Steigung einer trigonometrischen Funktion an Punkt

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Sonstiges

Tags: Ableitung, Cosinus, Sinus, Steigung

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15:28 Uhr, 06.07.2016

Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem mit folgender Art von Aufgaben:
"An welchen Stellen hat die Funktion

f (x) = cos (1,5 x + 5)

eine Steigung von 0,8?"

Ich weiß, dass man hier alles auf eine Seite bringen und die erste Ableitung bestimmen muss. Liege ich da richtig?
Dann gab es ja noch weitere Schritte, soweit ich weiß, mit dem Inhalt der Cosinusklammer.

Kann mir evtl. jemand weiterhelfen? :-)

Dankeschön!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Edddi aktiv_icon

15:57 Uhr, 06.07.2016

. .

. die Ableitung gibt dir die Steigung der Funktion an. Die Frage an welcher Stelle der Funktion

f (x)

die Steigung

0,8

hat ist identisch mit:

y' (x) = 0,8

Also bestimmt man die Ableitung der Funktion und setzt sie der Steigung gleich:

- sin (\frac{3}{2} \cdot x + 5) = 0,8

sin (\frac{3}{2} \cdot x + 5) = - 0,8

Subst.

\frac{3}{2} \cdot x + 5 = u

sin (u) = - 0,8

jetzt die Stellen bestimmen, an denen

sin (u) = - 0,8

bzw.

sin (π - u) = - 0,8

(wegen

sin (u) = sin (π - u))

u = a r c s i n (- 0,8) = - 0,927 + 2 k π = 5,356 + 2 k π

bzw.

π - u = - 0,927 + 2 k π \Rightarrow u = 4,068 + 2 k π

Wir haben also die Lösungen

u_{1} = 5,356 + 2 k π

u_{2} = 4,068 + 2 k π

jetzt noch resubst.

.
.
.

;-)

Ich-halt aktiv_icon

17:55 Uhr, 06.07.2016

Besten Dank für die schnelle Antwort!

Wäre die Ableitung nicht mit der Kettenregel zu lösen?

Könntest du mir evtl. noch erklären, wie du hierdrauf kommst?

"jetzt die Stellen bestimmen, an denen

sin (u) = - 0,8

bzw. sin(π-u)=-0,8

(wegen sin(u)=sin(π-u))

u=arcsin(-0,8)=-0,927+2kπ=5,356+2kπ

bzw.

π-u=-0,927+2kπ⇒u=4,068+2kπ"

Und für das Resubstituieren setze ich dann für das

u

jeweils

u 1

und

u 2

ein?

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18:04 Uhr, 06.07.2016

Die Ableitung von

cos (1,5 x + 5)

ist

: - sin (1,5 x + 5) \cdot 1,5

Edddi hat vergessen, das Argument des

cos

nachzudifferenzieren.

Edddi aktiv_icon

08:55 Uhr, 07.07.2016

. .

. sorry, hab echt vergessen, noch das Argument per Kettenregel zu diffenzieren - das Prinzip bleibt aber.

Wir hätten dann:

- \frac{3}{2} \cdot sin (\frac{3}{2} \cdot x + 5) = \frac{8}{10}

sin (\frac{3}{2} \cdot x + 5) = - \frac{8}{15}

Zur Vereinfachung dann die Stellen bestimmen, an denen:

sin (u) = - \frac{8}{15}

u = a r c s i n (- \frac{8}{15}) = - 0,562 + 2 k π = 5,721 + 2 k π

Der TR gibt dir

i . d . R

. die Lösung im Bereich

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}],

eine weitere Lösung kannst du bestimmen, da ja gilt

sin (u) = sin (π - u)

sin (π - u) = - \frac{8}{15}

π - u = a r c s i n (- \frac{8}{15}) = - 0,562 + 2 k π = 5,721 + 2 k π

u = π - (5,721 + 2 k π) = 3,704 + 2 k π

Die beiden Lösungen wären also:

u_{1} = 3,704 + 2 k π

u_{2} = 5,721 + 2 k π

u = \frac{3}{2} \cdot x + 5 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \cdot u - \frac{10}{3}

Somit:

x_{1} = \frac{2}{3} \cdot (3,704 + 2 k π) - \frac{10}{3}

x_{1} = - 0,864 + \frac{4}{3} k π

analog für

x_{2}

x_{2} = . .

P . S

. Nicht wundern, das scheinbar nicht richtig gerechnet wurde, ich habe den ganzen Parameter

k

nicht indiziert.

So wäre ja

z . B

α - (β + 2 \cdot k \cdot π) = α - β - 2 \cdot k \cdot π = α - β + 2 \cdot k_{1} \cdot π

Ich habe es trotzdem einfach als

α - β + 2 \cdot k \cdot π

geschrieben, da ja

k \in ℚ

;-)

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