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Differenzialquotient sin(1/x)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Differentialquotient, Differentialrechnung, Differenzialquotient, Kosinus, Sinus

.NiGu. aktiv_icon

20:59 Uhr, 01.05.2011

Hey Leute,

ich bräuchte mal die Ableitung von

sin (\frac{1}{x})

über den Differenzialquotienten. Rauskommen sollte nach der Kettenregel ja

- cos (\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x^{2}}

aber irgendwie will es bei mir nicht so richtig. Sinus und Kosinus sind sowieso nicht meine Freunde^^

Also mein Ansatz war:

\frac{sin (\frac{1}{x_{0} + h}) - sin (\frac{1}{x_{0}})}{h}

(dann habe ich die Umformung)

\frac{sin (\frac{\frac{1}{x_{0} + h} + \frac{1}{x_{0}}}{2}) \cdot 2 \cdot cos (\frac{\frac{1}{x_{0} + h} - \frac{1}{x_{0}}}{2})}{h}

(das weiter zu)

\frac{sin (\frac{2 x_{0} + h}{2 \cdot x_{0} \cdot (x_{0} + h)}) \cdot 2 \cdot cos (- \frac{h}{2 \cdot x_{0} \cdot (x_{0} + h)})}{h}

Aber jetzt habe ich keine Ahnung wie es weitergehen soll

: - |

Würde mich über Hilfe freuen.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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pleindespoir aktiv_icon

21:46 Uhr, 01.05.2011

"Rauskommen sollte nach der Kettenregel ja

- c o s (\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x^{2}}

aber irgendwie will es bei mir nicht so richtig. "

Was will denn nicht so richtig bei dir ? Potenzstörungen?

Die Ableitung ist richtig und die Herleitung mit dem Differentialquotienten für Leute, deren Freunde nicht sin & cos sind, grenzt an Masochismus.

.NiGu. aktiv_icon

08:32 Uhr, 02.05.2011

Ja... Aber leider muss ich es in mein Referat mit einbauen... Bin also für jeden Tipp und Lösungsvorschlag dankbar.

Shipwater aktiv_icon

14:59 Uhr, 02.05.2011

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{sin (\frac{1}{x}) - sin (\frac{1}{x_{0}})}{x - x_{0}}

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{sin (\frac{1}{x}) - sin (\frac{1}{x_{0}})}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0}}} \cdot lim_{x \to x_{0}} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0}}}{x - x_{0}}

. .

\Rightarrow f' (x_{0}) = - cos (\frac{1}{x_{0}}) \cdot \frac{1}{x_{0}^{2}}

Die einzelnen Grenzwerte musst du natürlich noch erst berechnen.

pleindespoir aktiv_icon

17:33 Uhr, 02.05.2011

@shipwater

wie erläuterst du den Schritt von Zeile 1 zu Zeile 2 ?

und gerade das Ermitteln der Grenzwerte ist ja vermutlich das Problem des TE, oder?

@NiGu

falls die Herleitung der Ableitung mit Differentialquotient nicht die Hauptsache des Referates ist, versuche das besser zu vermeiden. Bis das die Zuhörer kapieren, wie das läuft, ist die Doppelstunde rum. Oder die schalten mehrheitlich auf akustischen Durchzug - das wäre auch schlecht fürs Referat.

Shipwater aktiv_icon

17:37 Uhr, 02.05.2011

@ pleindespoir: Einfach mit

\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0}}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_{0}}}

erweitern und dann etwas umsortieren. Ich denke, dass der TE einfach nicht auf diese Idee gekommen ist. Der zweite Grenzwert ist ja kein Problem. Beim ersten muss man wohl Additionstheoreme zur Hilfe nehmen.

pleindespoir aktiv_icon

17:40 Uhr, 02.05.2011

@ship

alles klar - ich hab nicht erfasst, dass die Nenner "Bäumchenwechseldich" gespielt haben ...

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