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Maximum,Minimum von Funktion in Intervall

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Extrema, Funktion, Kosinus, Sinus

Dummwiebrot aktiv_icon

05:05 Uhr, 12.03.2012

Hallo, ich habe eine Aufgabe gegeben, in der ich für die Funktion

f : R

→

R

mit

f (x) = x + cos x

für

x

∈

R

das globale Maximum und das globale Minimum von

f

auf dem Intervall I

= [0, 2 π]

bestimmen soll. Danach sollen wir die Funktion im Intervall auf Monotonie untersuchen.

Zuerst einmal die benötigten Ableitungen:

f' (x) = 1 - sin (x)

f'' (x) = - cos (x)

Dann die lokalen Extrema im Intervall:

0 = 1 - sin (x)

1 = sin (x)

x = \frac{π}{2}

Beim einsetzen in die 2. Ableitung stelle ich allerdings fest, dass es sich dabei nur um einen Terassenpunkt handelt

f'' (\frac{π}{2}) = 0,

wie komme ich jetzt auf globales Minimum und Maximum im Intervall, einfach die Grenzen des Intervalls einsetzen und dann schauen ob

f (0) < f (2 π)

oder umgekehrt? Wie würde eine Monotonieuntersuchung in dem Falle aussehen?

Im 3. Teil sollen wir das Taylorpolynom 2. Grades an der Stelle

π

bilden,

f (π) = 0, f' (π) = 1, f'' (π) = 1

T (x) = \frac{0}{1} \cdot {(x - π)}^{0} + \frac{1}{1} \cdot (x - π) + \frac{1}{2} \cdot {(x - π)}^{2} = (x - π) + \frac{1}{2} {(x - π)}^{2}

Dies habe ich aber hoffentlich wenigstens richtig.

Vielen Dank für eure Zeit.

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