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Kontrolle dieser Textaufgabe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, e-Funktion, Integral, Kurvendiskussion, Parameter

Mathemathey aktiv_icon

12:01 Uhr, 24.03.2012

Hallo liebe Mathefreunde!

Ich habe eine Textaufgabe bearbeitet, und es wäre schön, wenn sich die jemand kurz durchgucken könnte. Desweiteren brauche ich aber Hilfe bei der letzten Teilaufgabe, weil ich gar nicht verstehe, was ich da machen soll.

Okay hier die Aufgabe:

Ein Pharmaunternehmen produziert ein Medikament in unterschiedlichen Wirkstoffdosierungen, das in Tablettenform verabreicht wird. Der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration im Blut eines Patienten kann in den ersten

24

Stunden nach der Einnahme einer Tablette näherungsweise durch die Funktionenschar

f_{a}

mit

f_{a} (t) = a \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t}, t \in [0; 24], a > 0,

beschrieben werden. Dabei werden die Zeit

t

in Stunden seit der Einnahme und die Wirkstoffkonzentration

f_{a} (t)

im Blut in Milligramm pro Liter (mg/l) gemessen; die Höhe der Wirkstoffdosierung wird durch den Parameter a berücksichtigt.

a)Bild

159.1

(Jetzt leider nicht beigelegt) zeigt einen zeitlichen Verlauf, bei dem die Wirkstoffkonzentration im Blut des Patienten vier Stunden nach der Einnahme den Wert von

10,3

mg/l erreicht. Berechnen Sie den Parameter a der Funktion

f_{a}

und die Wirkstoffkonzentration zum Zeitpunkt

t = 24

b)

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktionen

f_{a}

in Abhängigkeit von a und zeigen Sie,dass die Funktion

f_{a}

unabhängig vom Parameter a an der Stelle

t = 4

ein absolutes Maximum besitzt. Interpretieren Sie die Ergebnisse im Sachzusammenhang. Um eine schädliche Wirkung des Medikaments zu vermeiden, darf eine Wirkstoffkonzentration von

18

mg/l nicht überschritten werden. Ermitteln Sie die Dosishöhe

a,

ab der eine schädliche Wirkung des Medikaments eintritt.

c)

Weisen Sie nach, dass die Wirkstoffkonzentration für jede Dosishöhe a zum Zeitpunkt

t = 8

am stärksten abnimmt.

Im Folgenden soll die Funktion

f_{10}

mit

f_{10} (t) = 10 \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t}, t \in [0; 24],

betrachtet werden.

d)

Zeigen Sie durch Integrieren (im Grundkurs durch Ableiten), dass die Funktion

F_{10}

mit

F_{10} (t) = 40 \cdot (- t - 4) \cdot e^{- 0,25 \cdot t}

eine Stammfunktion von

f_{10}

ist. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von

k

die mittlere Wirkstoffkonzentration

m (k)

in den ersten

k

Stunden nach der Einnahme des Medikaments und berechnen Sie

m (12)

e)

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion

f_{10}

für

t \to \infty

. Interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf den langfristigen Abbau des Wirkstoffs.

f)

Für

t > 24

soll der zeitliche Verlauf der Wirkstoffkonzentration durch eine lineare Funktion

g

beschrieben werden. Bestimmen Sie eine Gleichung der linearen Funktion

g

so, dass die zusammengesetzte Funktion

h

mit

h (t) = {f_{10} (t)

für

0 \leq t \leq 24

und

g (t)

für

t > 0

an der Stelle

24

differenzierbar ist. Berechnen Sie für diese Modellierung den Zeitpunkt, zu dem das Medikament im Blut vollständig abgebaut ist.

(Zentralabitur NRW

2008,

Leistungskurs Mathematik)

Gut, nach dieser langen Aufgabe hier meine Lösungen:

a)

10,3 = a \cdot 4 \cdot e^{- 1} | : 4

= \frac{103}{40} = a \cdot e^{- 1}

= \frac{103}{40} = \frac{a}{e} | \cdot e

\frac{103}{40} \cdot e = a

7 \approx a

Die Höhe der Wirkstoffdosierung beträgt also 7.

\Rightarrow f_{7} (24) \approx 0,416

Somit haben wir also eine Konzentration von

0,416

mg/l im Blut des Patienten nach einem Tag.

b)

Ableitungen:

f_{a}' (t) = a \cdot e^{- 0,25 t} + a \cdot t \cdot (- 0,25) \cdot e^{- 0,25 \cdot t}

f_{a}' (t) = a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} - 0,25 \cdot a \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t}

f_{a}' (t) = a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (1 - 0,25 \cdot t)

f_{a}'' (t) = - 0,25 \cdot a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (1 - 0,25 \cdot t) + a \cdot e^{- 0.25 \cdot t} \cdot (- 0,25)

f_{a}'' (t) = - 0,25 \cdot a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (1 - 0,25 \cdot t + 1)

f_{a}'' (t) = - 0,25 \cdot a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (2 - 0,25 \cdot t)

Wenn man nun die Funktion von

f_{a}' (t)

betrachtet, fällt folgendes auf:
Wenn

t

im Intervall von 0 bis 4 liegt, dann ist der Graph von

f_{a}

monoton steigend, da

f_{a}'

im positiven Bereich verläuft. (Bzw. bei

t = 4

gibt es keine Steigung, weil f_a'=0)Wenn nun

4 < t \leq 24

dann verläuft die Ableitung im negativen Bereich, und

f_{a}

fällt.

Notwendge Bedingung Extrema:

f' (x) = 0

0 = a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (1 - 0,25 \cdot t)

\to

a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} \neq 0

0 = 1 - 0,25 \cdot t | - 1

- 1 = - 0,25 \cdot t | : (- 0,25)

4 = t

Hinreichende Bedingung Extrema:

f'' (x) \neq 0

f_{a}'' (4) = - \frac{0,25 \cdot a}{e} \to

a > 0 \to

Maximum

Wir haben also tatsächlich ein Maximum bei

t = 4

. Das a hier nichts beeinflusst wurde ja bei der notwendigen Bedingung ersichtlich, wo a letztendlich als Variable wegfiel.

Mal sehen ab welcher Dosierung die Konzentration zu hoch wird:

18 = 4 \cdot a \cdot e^{- 1}

= 18 = \frac{4 \cdot a}{e} | \cdot e

= 18 \cdot e = 4 \cdot a | : 4

= \frac{9 \cdot e}{2} = a

12,232 \approx a

Ab einer Dosierung von ca.

12,232

wird die Konzentrationshöhe schädlich.

c)

Hierzu brauchen wir die dritte Ableitung noch:

f_{a}''' (t) = \frac{1}{16} \cdot a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (2 - 0,25 + t) - 0,25 + a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (- 0,25)

f_{a}''' (t) = \frac{1}{16} \cdot a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (2 - 0,25 \cdot t + 1)

f_{a}''' (t) = \frac{1}{16} \cdot a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (3 - 0,25 \cdot t)

Notwendige Bedingung Wendestellen:

f'' (x) = 0

0 = - 0,25 \cdot a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (2 - 0,25 \cdot t)

\to

- 0,25 \cdot a \cdot e^{- 0,25 \cdot t} \neq 0

0 = 2 - 0,25 \cdot t | - 2

- 2 = - 0,25 \cdot t | : (- 0,25)

8 = t

Hinreichende Bedingung Wendestellen:

f''' (x) \neq 0

f_{a}''' (8) = \frac{0,0625 \cdot a}{e^{2}} \to

Also wirklich ein Wendestelle.

Somit ist bewiesen, dass bei

t = 8

die stärkste Abnahme ist.

d) \int (10 \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t}) d t

Wende partielle Integration an:

\int (u (x) \cdot v' (x)) = u (x) \cdot v (x) - \int (u' (x) \cdot v (x))

u (t) = 10 \cdot t

u' (t) = 10

v (t) = - 4 \cdot e^{- 0,25 \cdot t}

v' (t) = e^{- 0,25 \cdot t}

\Rightarrow \int (10 \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t} = 10 \cdot t \cdot (- 4) \cdot e^{- 0,25 \cdot t} - \int (10 \cdot (- 4) \cdot e^{- 0,25} \cdot t) d t

= - 40 \cdot t \cdot e^{0,25 \cdot t} - \int (- 40 \cdot e^{- 0,25 \cdot t}) d t

= - 40 \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t} + 40 \cdot \int (e^{- 0,25 \cdot t}) d t

= - 40 \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t} + 40 \cdot (- 4) \cdot e^{- 0,25 \cdot t}

= - 40 \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t} - 160 \cdot e^{- 0,25 \cdot t}

F_{10} (t) = 40 e^{- 0,25 \cdot t} (- t - 4)

Okay, das ist also bewiesen. Bei folgender Rechnung bin ich mir nicht ganz sicher:

m = \frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

\Rightarrow \frac{1}{k} \cdot \int_{0}^{k} 10 \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t} d t

\int_{0}^{k} 10 \cdot t \cdot e^{- 0,25 \cdot t} d t

= {[40 \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (- t - 4)]}_{0}^{k}

= F (k) - F (0)

= 40 \cdot e^{- 0,25 \cdot k} (- k - 4)

\to \frac{1}{k} \cdot (40 \cdot e^{- 0,25 \cdot k} (- k - 4) = m (k)

m (k) = \frac{40 \cdot e^{- 0,25 \cdot k} (- k - 4)}{k}

Das ist also die Wirkstoffkonzentration in Abhängigkeit von

k

m (12) \approx - 2,655

Die durchschnittliche Konzentration zum Zeitpunkt

12

beträgt

- 2,655 ...

e)

lim_{t \to \infty} f_{10} (t) = 0

Logisch; das Medikament baut sich ja irgendwann mal im Körper vollständig ab.

f)Hier weiß ich nicht was zu tun ist...

Gut, das war eine monströs lange Aufgabe, ich weiß. Mal sehen ob aber nicht doch jemand sich die Zeit nimmt, mir zu Helfen. Ich wäre sehr dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
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Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

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Matlog aktiv_icon

14:49 Uhr, 24.03.2012

Hallo,

toll gemacht!
Beim Überfliegen Deiner Lösungen ist mir nur ein kleiner dummer Fehler aufgefallen, der zu dem seltsamen Ergebnis bei Teil

d)

führt.
Bei der Berechnung von

m

hast Du das Integral berechnet, aber

F (0)

vergessen. Vielleicht hast Du auch gedacht

F (0)

wäre

0,

ist aber nicht so.

Tipp für

f) :

Die zusammengesetzte Funktion ist für

t = 24

differenzierbar, wenn sie dort stetig ist

(d . h

. die y-Werte beider Teile sind dort gleich) und beide Funktionsteile dort die gleiche Steigung haben.
Damit kannst Du

g (t)

bestimmen!

Ich vermute, dass Dir das reicht, sonst nachfragen!

Gruß, Matlog

Mathemathey aktiv_icon

17:12 Uhr, 24.03.2012

Danke dir Matlog!

Okay, bei der

d)

ist der Fehler berichtigt;

F (0)

ist

- 160

und daraus folgt, dass

m (12) \approx 10,678

ist. Klingt logisch.

So und nun mein Ansatz bei der

f)

wobei ich nicht weiß, ob das so recht ist...

f)

Da Du ja gesagt hast, dass sowohl y-Werte und Steigung gleich sein müssen an der Stelle

24

gilt:

f_{10} (24) = g (24)

Dabei ist

f_{10} (24) \approx 0,595

.

Gut. Ich hab mir jetzt die allgemeine Form von linearen Funktionen ins Gedächtnis gerufen:

y = m \cdot x + b

.

Was mir jetzt nur noch fehlt ist

m

. Da ja die Steigung auch gleich sein soll an der Stelle

24

gilt:

f_{10}' (24) = m

f_{10}' (t) = 2,5 \cdot e^{- 0,25 \cdot t} (4 - t)

\to f_{10} (24) \approx - 0,124

Ich hab nun alles außer

b

eingesetzt und nach

b

aufgelöst:

0,595 = - 0,124 \cdot 24 + b

= 0,595 = - \frac{372}{125} + b | + \frac{372}{125}

= \frac{3571}{1000} = b

3,571 = b

Also ist

g (t) = - 0,124 \cdot x + 3,571

Ist das richtig so?

Matlog aktiv_icon

17:18 Uhr, 24.03.2012

Ja, prima!
Deine Rechnungen hab ich nicht kontrolliert, aber die Ansätze sind komplett richtig und logisch erklärt.
Weiter so!

Mathemathey aktiv_icon

17:20 Uhr, 24.03.2012

Hehe, danke!

Das war jetzt keine Hausaufgabe oder so, aber ich übe halt öfter für Mathe, weil ich den Leuten im LK zeigen will, dass ich auch was kann. :-)

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